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Mathematik

Nach den Bildungsstandards der KMK vom Oktober 2012 wird die Entwicklung mathematischer Kompetenzen durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Durch interaktive Erkundung beim Modellieren und Problemlösen werden mathematische Beziehungen entdeckt. Dabei fördern die vielfältigen Darstellungsmöglichkeiten der digitalen Werkzeuge das Verständnis für mathematische Zusammenhänge und deren Visualisierung. Die Lernenden werden beim Lösen von Aufgaben durch Kontrollmöglichkeiten unterstützt.

Diese Ziele können besonders gut durch den Einsatz von Tablets erreicht werden, da diese schnell verfügbar und unkompliziert ohne Raumwechsel, auch in kurzen Sequenzen, einsetzbar sind. Beim Einsatz neuer Technologien reicht es nicht, diese als Ersatz für alte Wege und Methoden zu verwenden. Ein statisches elektronisches Buch auf einem Tablet bringt noch keinen Mehrwert. Die neue Technologie ermöglicht eine Neugestaltung von Lernaufgaben und Lernwegen, die vorher unvorstellbar waren. Hier ist auch durch Angebote von digitalisierten Lerneinheiten oder zum Beispiel durch Lernvideos eine Individualisierung des Lernprozesses möglich. Ein Lernschritt kann im eigenen Tempo gegangen und bei Bedarf auch wiederholt werden. Die ersten Erfahrungen zeigen, dass es dabei nicht darauf ankommt, welche APPs man einsetzt, sondern wie man diese sinnvoll einsetzt um diese neuen Lernwege zu beschreiten. Es ist nicht förderlich, aus dem vorhandenen sehr großen Angebot, viele verschiedene APPs zu verwenden. Beschränkung und kritische Auswahl ist hier vorzuziehen.

Zusätzlich kann das Tablet auch zur Förderung der überfachlichen Kompetenzen wie Argumentieren, Präsentieren, Kommunizieren und Kollaborieren eingesetzt werden. Beispiele dafür sind die Unterstützung von Brain-Storming (z.B. digitale Pinnwand), das Erstellen von Dokumentationen (z.B. E-Books), Präsentationen, Mindmaps und Erklärvideos. Hierbei ist es sinnvoll sich fächerübergreifend auf einen Satz von passenden Tools zu einigen.

Die allgemeine Sinusfunktion (UE)

Einführung eines dMw am Beispiel von Geogebra (UE)

Einführung in die Integralrechnung (UE)

Einführung von Polynomfunktionen (UE)

Funktionen mit Praxisbezug (Physik) (UE)

Lineare Regression (UE)

Vektorgeometrie (KOS, Punkte, Vektoren) (UE)

Die allgemeine Sinusfunktion und ihr Schaubild (UE)

Prozentrechenquiz (UEL)

Die Umkehrfunktion (UE)

Ausbildung der Grundvorstellungen bei der Differenzialrechnung (UE)





Hilfsmittel

Erstellen eines GeoGebraBooks


Apps

Die Erfahrung im Mathematikunterricht, in Workshops und Fortbildungsveranstaltungen zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge hat gezeigt, dass die Nutzung vieler verschiedener APPs keinen deutlichen Mehrwert bringt. Obwohl es für die verschiedenen Themenbereiche des Mathematikunterrichts jeweils sehr gute APPs gibt, ist es besser, sich auf eine APP zu beschränken. Die Schülerinnen und Schüler sind dann mit der  Bedienung vertraut. Im Dezember 2016 wurde an der Landesakademie Esslingen ein Fortbildungskonzept zum Einsatz digitaler Werkzeuge erstellt. Dabei hat man sich darauf geeinigt, nur noch GeoGebra einzusetzen und zu unterstützen. GeoGebra läuft auf allen Betriebssystemen und inzwischen gibt es auch Versionen für Smartphones (iOS und Android).


FreeGeo
Android

Dynamische Geometrie, Algebra, Analysis, Statistik 

Freegeo fördert das entdeckende Lernen beim interaktiven Erkunden von Zusammenhängen und deren Verständnis durch verschiedenen dynamische Darstellungsmöglichkeiten, was mit herkömmlichen Medien so gar nicht möglich ist.


GeoGebra
iOS   / Android  / Windows

Dynamische Mathematik, Visualisierung
Analysis, Algebra, Stochastik, Vektorielle Geometrie, CAS.

GeoGebra deckt inhaltlich den gesamten Bildungsplan Mathematik ab. Es fördert das entdeckende Lernen beim interaktiven Erkunden von Zusammenhängen und deren Verständnis durch Experimentieren in verschiedenen dynamischen Darstellungsmöglichkeiten, was mit herkömmlichen Medien so gar nicht möglich ist. Weiterhin kann GeoGebra zum Validieren von Ergebnissen und Kalkulieren von umfangreichen Aufgaben eingesetzt werden. Es fördert das individualisierte Lernen und bietet durch interaktive Tests die Möglichkeit der Konsolidierung und damit eine Lernstandsdiagnose.

Für Nutzung von GeoGebra Tube zum Erstellen von Arbeitsblättern und Büchern durch Schülerinnen und Schüler sowie der Durchführung von interaktiven Tests mit individuellem Feedback mit Speicherung der Ergebnisse (auch in Lerngruppen) ist ein Account der SuS erforderlich. Dabei sind die Datenschutzbedingungen von GeoGebra zu beachten.

GeoGebra Datenschutzbedingungen

GeoGebra Grafikrechner (für Smartphones)
iOS Android

Dynamische Mathematik, Visualisierung
Analysis, Algebra, Geometrie.

Dies ist eine besondere und eingeschränkte Version von GeoGebra für Smartphones, die nur den Algebrateil von GeoGebra enthält.
(Jetzt auch für das iPhone verfügbar!)

GeoGebra 3D Grafikrechner (für Smartphones)
Android

Dynamische Mathematik, Visualisierung
Dreidimenisonale Darstellung von Körpern, Funktionen, Analytische Geometrie
Vektorgeometrie, Analysis, Algebra.

Dies ist eine besondere und eingeschränkte Version von GeoGebra für Smartphones, die  den 3D-Grafikteil von GeoGebra enthält.



Math 42
iOS

Rechnen mit Termen und Lösen von Gleichungen,
Ableiten, Intergrieren, Matrizenrechnung
Schrittweise Darstellung, Interaktive Tests.

Das Besondere an Math 42 ist die Möglichkeit, Aufgaben in einzelnen Schritten zu lösen und Rechentraining und Tests durchzuführen.

Zur Nutzung des vollen Funktionsumfangs (z. B. Schritt-für-Schritt-Lösungen) ist neuerdings ein monatliches Abonnement von derzeit $1,99 erforderlich.



Mathematics
Android

Analysis, Lineare Alegbra, Stochastik, Darstellung von
Funktionen, Regression, Lösen von Gleichungen und LGS.

Grafischer Rechner für den gesamten Stoff, Visualisierung.


MathStep
Android

Einfaches CAS, Terme, Gleichungen,
Differential- und Intergralrechnung.

Grafische Darstellung von Funktionen und einfaches CAS.
Besonders gut für Smartphones geeignet.









Unterrichtsmaterialien zur Ausbildung der Grundvorstellungen bei der Differenzialrechnung Übersicht

Material 1

Grundvorstellung der Ableitung als lineare Approximation

Die SuS entdecken, dass sich gekrümmte Kurven durch Geraden annähern lassen, wenn man den betrachteten Kurvenabschnitt nur hinreichend verkleinert.

 

Material 2

Grundvorstellung der Ableitung als Tangentensteigung

Die SuS lernen eine Gerade kennen mit Namen „Tangente in einem Kurvenpunkt“, welche für diesen Punkt die optimale lineare Approximation darstellt. Diese Tangente beschreibt also die bestmögliche Geradennäherung der Kurve in diesem Punkt.

Die Steigung der Tangente in diesem Punkt wird definiert als Steigung der Kurve in diesem Punkt.

 

Jetzt erfolgt darüber hinaus auch die Einführung des Ableitungsbegriffs: Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt.

 

Material 3

Schritt von der Ableitung an einem Punkt zur Ableitungsfunktion („Steigungsfunktion“)

Die SuS konstruieren ein Schaubild, die Konstruktionsbedingung ist die folgende:

Die y-Werte der Punkte des erzeugten Schaubilds entsprechen den Steigungen der Tangenten an das ursprüngliche Schaubild an den dazugehörigen x-Werten.

 

Dieses nach dieser Vorschrift entstehende Schaubild ist Schaubild einer Funktion, deren Funktionswerte also nichts anderes beschreiben, als die Steigungswerte des ursprünglichen Schaubilds.

Die zugehörige Funktion nennt man Ableitungsfunktion (oder Steigungsfunktion).

 

Vorschlag für ein weiteres Vorgehen:

Grundvorstellung der Ableitung als momentane/lokale Änderungsrate

Leitfrage: Wie lässt sich die Ableitung an einem Punkt bzw. die Ableitungsfunktion
algebraisch ermitteln? Der bisherige Weg war ausschließlich graphisch.

 

Vorschlag:

è Mittlere Änderungsrate von Funktionswerten einführen im Anwendungsbezug,
Sekantensteigungsbedeutung, Differenzenquotient;

è Suche nach einer Änderungsrate, welche die Änderung von Funktionswerten in
einem Moment/an einem Ort beschreibt;

è Übergänge Sekante zu Tangente und Differenzen- zu Differentialquotient

è Tangentensteigung beschreibt also momentane/lokale Änderungsrate,
d.h. diese kann ebenfalls als Ableitung einer Funktion gedeutet werden!

 

Anmerkung:
Bei den Materialien 1 bis 3 arbeiten die Schüler jeweils von Beginn ab mit einer nicht vorstrukturierten neuen GeoGebra-Datei und führen alle notwendigen Konstruktionsschritte selbst durch. Für das darüber hinaus weitere Vorgehen scheint die Nutzung „fertiger“ GeoGebra-Dateien zur Visualisierung sinnvoller. Dies hat den Grund, dass bei den Materialien 1 bis 3 die Konstruktionsschritte im Programm im Kern auch dem jeweiligen mathematisch-inhaltlichen Fokus entsprechen. Eine Datei hingegen, welche z.B. den Übergang von der Sekante zur Tangente bzw. vom Differenzen- zum Differentialquotienten veranschaulicht, vom Schüler selbst erstellen zu lassen, fördert durch die Komplexität wohl eher das Verständnis der Programmbedienung als der damit veranschaulichten Mathematik.

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